3.3. Что такое формальные языки?

После того, как было познано, что такое язык, появились попытки создать искусственный язык. Упомянем один из таких языков - эсперанто. Этот язык был создан в 1887 г. варшавским врачом Л. Заменгофом как международный вспомогательный язык. Орфография языка - фонетическая (между буквами и звуками точное соответствие). Эсперанто получил некоторое распространение, на нем существует небольшая по объему переводная и оригинальная литература. Международным этот язык все же не стал, так как он легок далеко не для всех людей (что понятно, если вспомнить, насколько своеобразны синтаксисы различных естественных языков). Будучи искусственным, эсперанто, однако, обладает большей частью черт, которые в предыдущем параграфе мы отметили как нежелательные.

Известный немецкий математик Давид Гильберт в 1904 г., стремясь устранить из математики все неточности, которые могут приводить к получению противоречивых результатов, высказал идею о создании такого языка, на котором все формулировки были бы совершенно точными и однозначными и который позволял бы выводить из аксиом следствия не путем рассуждений, а с помощью операций, преобразующих символьные конструкции независимо от их смысла. Описание такого языка, пригодного для изложения части арифметики, приведено ниже.

Алфавит языка. В этом алфавите запятая не является буквой, поэтому для увеличения наглядности я буду буквы алфавита отделять друг от друга запятыми.

0, а, _,, +, *, ', ⊃, ∧, ∨, ¬, ∀, ∃, = , (, ), как читатель видит, всего 15 букв.

Используемые связи - связи следования. Предложениями данного языка являются слова. Кроме русского языка в состав применяемого нами метаязыка включим пять латинских курсивных букв: s, t, x, А и В.

Грамматика языка. Ограничимся тремя грамматическими категориями: переменная, существительное (его будем называть словом терм) и предложение (его будем называть формулой).

Правило 1. Если x - переменная, то x, тоже переменная. Других переменных нет.

Правило 2. а) 0 есть терм; б) каждая переменная есть терм; в) если s и t - термы, то (s) + (t), (s)*(t) и (s)' являются термами; г) никаких других термов, кроме определенных в предыдущих пунктах данного правила, нет.

Правило 3. а) если s и t - термы, то (s) = (t) является формулой; б) если А и В - формулы, то (A)⊃(В), (А)∧(В), (А)∨(В), ¬(А) - тоже формулы; в) если x - переменная, а А - формула, то ∀ x (А) и ∃ х (А) тоже являются формулами; г) никаких формул, кроме определенных в соответствии с предыдущими пунктами данного правила, нет.

Опишем семантику этого языка в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1. Семантика арифметического языка

Описанный арифметический язык позволяет совершенно точно выразить все арифметические утверждения (в пределах трех операций - следования, сложения и умножения), правда, иногда в виде очень длинных формул (предложений). Заметим, что слово "или" в этом языке имеет неразделительный смысл (т. е. оно означает, что реализуется или первая возможность, или вторая, или обе). Приведем несколько примеров предложений этого языка. Равенство 1 + 1 = 2 выразится формулой (((0)') + ((0)')) = (((0)')'). Утверждение, что ноль не следует ни за каким числом, запишется в виде формулы ¬(((а)') = (0)). Дословно оно читается как "неверно, что число, следующее за а, равно нулю".

Читатель согласится, что арифметический язык является формальным. Попытаемся установить различия между естественными и формальными языками. Прежде всего мы замечаем, что

• каждое предложение конструируется с помощью синтаксических правил, для применения которых не нужно знать смысла элементов, из которых составляется предложение;
• смысл каждого предложения нерасплывчат, совершенно четок; и это обеспечивается не только семантикой, но и характером синтаксиса;
• каждое предложение по своему смыслу совершенно однозначно;
• на арифметическом языке нельзя "говорить" ни о нем самом, ни об отдельных его предложениях и поэтому в нем невозможны парадоксы, вроде описанных выше для естественных языков.

Но такой язык не является живым, не может изменяться. Правда, множество мыслимых предложений (формул) бесконечно, но все они могут иметь только арифметический смысл. Самое главное, что смысл каждого предложения целиком и однозначно (при помощи семантической таблицы) определяется его структурой, его формой. Нужно еще отметить, что число синтаксических правил и семантических правил конечно.