![]() |
2. Уравнения механических цепейРассмотрим схему манипулятора, изображенную на рис. 7. Его приводы осуществляют качание плечевого и кистевого суставов в плоскости; α1, α2, α3 - углы поворота звеньев, li - длина i-го звена, mi - сосредоточенная масса звена, ri - расстояние центра тяжести звена (точки, в которой сосредоточена масса) от его оси вращения. В величине массы mi третьего звена учитывается масса переносимого груза. ![]() Рис. 7 В дальнейшем будем разделять движения на основные, т. е. не учитывающие волновые колебания звеньев из-за нежесткости конструкции, и дополнительные - упругие волновые колебания изгиба. Раздельное исследование этих движений практически допустимо при низкочастотных переходных процессах в манипуляторе. Воспользуемся уравнением Лагранжа для основных движений ![]()
где Т и П - кинетическая и потенциальная энергия механической системы; Кинетическая энергия системы ![]() где vi - скорость перемещения центра тяжести i-го звена. Для схемы на рис.7 ![]() Потенциальная энергия системы ![]() Формулы моментов сил Q1, Q2, Q3 из уравнения Лагранжа: ![]() ![]() ![]() Учитывая, что вращающий момент Mi для i-й степени свободы (см. рис. 7) есть ![]() где Mдi - момент, развиваемый двигателем; J'дi - момент инерции двигателя, приведенный к шарниру; ji - передаточное число от двигателя к шарниру; Mтрi sgn αni - момент сухого трения (Мстр)i; αni - угол поворота вала привода, представим (3), (4), (5) в виде ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() В формулах (6), (7), (8) вязкое трение не учитывается.
Допустим, что механическая характеристика ![]()
где ![]() ![]() ![]() ![]()
Здесь ![]() Рис. 8
На рис. 8 изображен двуногий шагающий механизм: m - масса, перемещаемая горизонтально в вертикальной плоскости; инерцией ног 1, 2 пренебрегаем; mн - массы, на которые опираются ноги в шарнирах А, C .С помощью приводов можно изменять длину каждой ноги и производить поворот ног в плоскости рисунка вокруг оси В. Периодическое движение механизма в направлении x складывается из четырех тактов. В первом такте происходит поворот ноги 1 вокруг оси В с одновременным укорочением, а затем удлинением. Во втором такте происходят приращения длин ног в первом такте ![]() ![]() во втором такте ![]() ![]()
Здесь в коэффициентах Исследуем дополнительные изменения положений звеньев рабочего органа, представляющие собой волновые упругие колебания изгиба. Запишем уравнение колебаний звена манипулятора как однородной балки ![]() где μ - масса балки, приходящаяся на единицу ее длины; ε = const при постоянном поперечном сечении звена; x - координата, отсчитываемая вдоль неизогнутой балки от левого конца вправо; y - отклонение перпендикулярно к оси x. В этом уравнении не учитывается деформация статического изгиба. Предположим, что оно описывает установившиеся колебания с частотой ω, т. е. ![]() Тогда (17) принимает вид ![]() Приходим к общему решению ![]() где ![]()
Для левого конца балки, связанного с выходным валом привода, принимаем как для опертого конца ![]()
Для правого конца ![]()
Отсюда получаем, что либо ![]()
Графическое решение (22) дает множество значений коэффициента а и соответственно множество возможных значений частоты Во-первых, наибольшая потенциальная энергия балки, которую она имеет в процессе колебаний: ![]() равна кинетической энергии при максимальных линейных скоростях ее всех точек: ![]()
где ![]()
Во-вторых, энергия, поддерживающая процесс генерации колебаний изгиба, в каждый момент времени определяется всеми предыдущими приращениями угла изгиба звена ![]()
где ![]()
где ![]()
где
Наличие ![]() или ![]()
Поскольку правая часть (26) зависит от времени в соответствии c (3), (4), (5), (24), (25), то ![]()
где ![]() Анализ передаточных механических цепей, показанных на рис. 5, связан с учетом скручивания вращающихся валов. Механическая цепь с такими валами может быть составлена из типовых звеньев, изображенных на рис. 9. ![]() Рис. 9 Каждое из этих звеньев описывается дифференциальным уравнением: ![]() ![]()
где ![]()
где ![]() Здесь не учтены силы трения. При устранении заделки в стенку правого конца вала в схеме на рис. 9 е и при жестком конце справедливо уравнение ![]() Подставляя в (28) формулу механической характеристики электродвигателя ![]() получаем ![]() где ![]() Момент M2 учтен как момент сопротивления по отношению к M1. Уравнения для расчетных схем на рис. 9 записаны выше без учета волнового движения деформации упругих валов. Анализ волновых колебаний валов может быть проведен аналогично анализу колебаний изгиба звеньев рабочих органов роботов. Пользуясь уравнениями расчетных схем (см. рис. 9), приводят к одному валу как моменты инерции отдельных участков цепи и моменты сил, так и коэффициенты жесткости упругих звеньев, исходя из закона сохранения энергии. В приведенных выше уравнениях не отражено влияние кинематических погрешностей и зазоров в передачах между двигателем и шарниром рабочего органа. Неточность изготовления зубьев передач и эксцентриситеты являются причиной нарушения равномерности движения связываемых элементов. Передаточное число зацепления содержит малые периодические изменения около среднего значения. В общем случае выражение для мгновенного значения передаточного числа имеет вид ![]()
где
Из всего спектра возмущений обычно целесообразно учитывать те, которые имеют наибольшие амплитуды, и те, которые наиболее близки к частоте свободных колебаний привода. Практически можно рассматривать случай, когда одно возмущение создает периодическое отклонение передаточного числа i от среднего значения i0, т. е. При учете влияния зазоров необходимо иметь в виду, что с течением времени они увеличиваются. Наибольшим зазором обладают выходные ступени зубчатых передач, понижающих скорость. Незатухающие колебания в следящих системах, вызванные наличием зазора в механической передаче, можно снизить путем уменьшения отношения момента инерции вала двигателя к моменту инерции механизма (после редуктора). Иногда при построении механических цепей целесообразно учитывать максимально возможные параметры движений человеческих рук. Эти параметры приведены в табл. 1. ![]() Таблица 1 |
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© ROBOTICSLIB.RU, 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://roboticslib.ru/ 'Робототехника' |