2. Переходный процесс в контуре регулирования

Дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре регулирования, представленном линейным и непрерывным, имеет вид

где х - сигнал выхода контура, изменяющийся во времени - сигнал входа; - постоянные коэффициенты; k - коэффициент усилия разомкнутого контура.

Предположим, что контур состоит из усилительных и n апериодических звеньев. Воспользовавшись преобразованием Лапласа-Карсона

получаем передаточную функцию апериодического звена

и передаточную функции разомкнутого контура регулирования

Здесь - изображения сигналов входа соответственно i-го звена и разомкнутого контура; сигналы выходов; - постоянная времени апериодического звена; произведение всех учитывает присутствие в контуре апериодических и усилительных звеньев. При - единичной ступенчатой функции, существующей в области , имеем равенство и переходную функцию i-го звена

Заменим функцией, приближающейся к ней с точностью, удовлетворительной для инженерной практики:

где Тогда для времени

причем для всех апериодических звеньев что связано с выбранной аппроксимацией выходной реакции апериодического звена на появление сигнала на его входе.

Из вида следует, что преобразование Лапласа - Карсона для функции сводится к замене в формуле на параметр s, что справедливо, если

Передаточная функция разомкнутого контура как известно, может быть представлена в виде суммы

Перейдя во временную область, получаем с учетом аппроксимации h-функций

где - сигнал выхода разомкнутого контура при Очевидно, последнюю формулу можно переписать следующим образом:

Таким образом, переход к - переходной функции разомкнутого контура - сводится также к замене в формуле на параметр s.

Дифференциальному уравнению переходного процесса в замкнутом контуре регулирования (82) соответствует передаточная

функция K(s) при

где - изображение сигнала

Вывод, сделанный выше о замене на s (справедлив и обратный переход) для апериодического звена и последовательной разомкнутой цепи, состоящей из n звеньев, можно применить к функции K(s), описывающей устойчивую систему, если переходная функция замкнутого контура равна сумме экспоненциальных функций. Для рассмотрения же общего случая воспользуемся известной формулой

где - действительная часть амплитудно-фазовой частотной характеристики замкнутого контура регулирования

Для разомкнутого контура действительную часть получаем из (84) в виде

Для замкнутого контура из формулы (87) с учетом (82)

Здесь Если переходную функцию апериодического звена аппроксимировать не так, как показано в формуле (83), а в виде

где для всех звеньев, то получим, учитывая (88) и (90):

при Тогда

Предположим, что существуют такая действительная часть амплитудно-фазовой частотной характеристики некоторой разомкнутой системы, состоящей из апериодических и усилительных звеньев, равная и время что соблюдается равенство

Здесь

Подынтегральную функцию второго интеграла перепишем следующим образом:

Функцию находим из условия

Она имеет вид

Так как обязательно соблюдение равенства то

Переходный процесс в разомкнутой системе при ступенчатом воздействии на входе в соответствии с вышеизложенным описывается функцией тогда из формулы получаем при

Таким образом, располагая формулами и считая, что на выходе замкнутой системы переходный процесс описывается как находим истинное время t, пользуясь соотношением (93), устанавливающим связь между