5. Применение вариационного метода

Рассмотрим вариационный метод синтеза управлений двигателями на примере электроприводов.

Электроприводы можно разделить на две группы: приводы, в которых определяющими являются ограничения по нагреву и энергии, и приводы, в которых существенными являются только ограничения по току, скорости вращения, напряжению и т. п. Первой группе соответствует длительный режим работы или повторно-кратковременный с большой частотой включений, второй - кратковременный или повторно-кратковременный с длительными паузами между рабочими циклами. Законы оптимального управления для приводов первой группы обычно определяются на основе классического вариационного исчисления и реализуются регуляторами непрерывного действия.

Уравнение равновесия моментов на 1валу электродвигателя постоянного тока при неизменном моменте инерции и моменте сопротивления имеет вид

где - ток якоря; - результирующий магнитный поток; конструктивный коэффициент; - момент инерции привода, приведенный к валу двигателя; - угловая скорость; - момент сопротивления исполнительного механизма; t - время. Здесь Обозначим где - номинальные величины. Тогда из (112) получаем в относительных единицах

Если

Приняв за единицу количества тепла, выделяющегося в меди якоря, тепло, выделяющееся в номинальном режиме за время определяем тепло для времени

В длительном режиме в кратковременном и повторно-кратковременном режиме допустимо Если за единицу перегрева меди якоря над температурой охлаждающего воздуха принять перегрев в номинальном режиме, то нагрев меди можно описать уравнением

где - превышение температуры меди якоря над температурой воздуха в относительных единицах; - постоянная времени нагрева. Обычно

Напряжение на зажимах якоря в относительных единицах

где - активное сопротивление якорной цепи, - индуктивность, - э. д. с. вращения в номинальном режиме. Напряжение U отнесено к величине Пусть вал электропривода, описываемого уравнением (114), перемещается на отрезке времени τ от 0 до T на угол α при нулевых начальной и конечной скоростях вращения Затем следует пауза длительностью , после чего имеет новый цикл, и т. д. для того чтобы не происходило перегрева электродвигателя, должно выполняться неравенство

означающее, что количество тепла, которое выделяется в обмотке якоря за время работы T, не превосходит количество тепла, которое может быть отведено охлаждающим воздухом без превышения номинального перегрева обмоток за полное время цикла При полном использовании двигателя по нагреву неравенство для переходит в равенство. Задача нахождения оптимального движения привода формулируется так: найти функции доставляющие максимум при заданном значении интеграла и уравнении связи (114). Ограничения величин тока i и скорости v отсутствуют.

Составляем функционал

где - неопределенный множитель Лагранжа.

Запишем уравнение Эйлера

т. е. Отсюда Поскольку то и Тогда

Величину λ находим из условия

откуда Максимуму соответствует условие где т. е. Поэтому Тогда получаем оптимальные функции

Проинтегрировав (116) от 0 до T, находим угол поворота вала электродвигателя

откуда

На рис. 39 б показан вид диаграмм тока и скорости двигателя для оптимального переходного процесса, несколько отличающихся от (118) и (119). От линейной диаграммы (119) необходимо отказаться в том случае, когда максимальное значение тока якоря больше, чем значение допустимое по условиям коммутации. Наилучшей тогда является смешанная диаграмма, составленная из участков и линейного участка между ними (рис. 39 б). В работе [18] приведены соотношения параметров смешанной диаграммы:

При получаем вырожденные диаграммы тока и скорости, изображенные на рис. 39 в. Они оптимальны для электродвигателей с длительностью пауз во много раз большей длительности работы (более чем в 8 раз) и для кратковременной работы. Параметры вырожденных диаграмм могут быть получены с использованием принципа максимума. Заметим, что ни линейная, ни вырожденная диаграммы тока не могут быть точно реализованы, поскольку цепь якоря электродвигателя обладает индуктивностью.

Рис. 39

Теперь найдем оптимальные диаграммы тока и скорости для которых принимает минимальное значение интеграл если заданы условия

Составляем функционал

Приходим к уравнению Эйлера т. е. Тогда Воспользуемся граничными условиями:

Для нахождения множителя Лагранжа λ интегрируем функцию

откуда

Подставляем λ в формулы скорости и тока:

Если то выражение (120) совпадает с (118), а (121) с (119). Формула (120) может быть использована в том случае, когда максимальная ордината диаграммы скорости не превышает по абсолютной величине При превышении же экстремум I достигается на диаграмме скорости, составленной из отрезков экстремали и участка постоянной скорости Известно, что в точках сопряжения экстремали и граничной кривой касательные к ним должны совпадать, т. е. В решаемой задаче оптимальную диаграмму скорости находим из условий на первом участке на третьем участке на втором участке где - длительность -го участка; где время считается с нуля от начала каждого отрезка; ускорение в конце первого участка и аналогично ускорение в начале третьего участка

На рис. 39 а показаны оптимальные диаграммы скорости и тока при наличии локального ограничения Если максимальный ток на диаграмме превышает допустимое значение по абсолютной величине, то оптимальная диаграмма тока составляется из участков границы области и участка, соответствующего экстремали либо диаграмма является вырожденной. Появление в кривой тока участков означает появление функций что приводит к необходимости скорректировать диаграмму скорости на этих участках, полученную без учета ограничения

Если в задачу системы электропривода входит только требуемое изменение скорости обеспечивающее минимум интеграла

при заданных граничных условиях и то уравнение Эйлера принимает вид Тогда где Ток в якоре изменяется по закону Напряжение на зажимах якоря должно возрастать по линейному закону в функции времени:

Формула (122) получена при т. е. n = 0 в соответствии с равенством (115). В работе [18] учитывается зависимость теплоотдачи от температуры меди якоря с помощью уравнения

Решим следующую задачу. Найти функции обеспечивающие наибольшее изменение скорости вращения вала двигателя в заданное время T при учете уравнений связи и и ограничения по температуре изоляции

Второе уравнение связи запишем в виде

где Исходя из максимизации приращения составляем функционал

где - множитель Лагранжа.

Уравнение Эйлера для функции

из которого определяем

Уравнение Эйлера для функции

откуда Тогда ток изменяется по закону где - ток якоря в начальный момент времени

Скорость вращения вала двигателя Для заданного начального условия

Из второго уравнения связи для

Кривая θ(τ) имеет максимальное значение, равное которому соответствует Если то из условия получаем Для меньших значений T, т. е. для начальный ток равен

Если же то максимальное приращение скорости за переходный процесс достигается на кривой составленной из экстремали и участка границы области В точках сопряжения касательные к экстремали и к границе области должны совпадать, если В данной задаче функционал с помощью уравнения приводится к виду

откуда

Выше рассмотрены оптимальные движения приводов с электродвигателями, у которых относительное значение потока Если поток непостоянен, то из уравнения (113) имеем Тогда равно

Если требуется найти оптимальные функции доставляющие минимум при заданном значении и приращении угла поворота вала привода причем то приходим к изопериметрической задаче со вспомогательным функционалом

Записав уравнение Эйлера для функции

получаем

В данном случае экстремалей не существует для любой допускаемой функции Экстремум имеем на границе области значений потока при Магнитный поток следует поддерживать постоянным и равным своему максимальному значению. Исключением являются лишь те случаи, когда существенно ограничение по напряжению [18].

Наряду с интегральными критериями качества переходных процессов в системах привода, характеризующими их производительность либо нагрев двигателей, пользуются функционалами, описывающими длительность процесса или энергию, затрачиваемую для перемещения. Определение наименьшего времени за которое вал привода поворачивается на угол связано с нахождением функций минимизирующих интеграл Энергия же, потребляемая из сети, равна

Первая составляющая

третья составляющая

Обычно от управления зависит только вторая составляющая

Следовательно, при постоянных моменте сопротивления и моменте инерции J законы управления, обеспечивающие минимум нагрева якоря и минимум потребления энергии, совпадут.

При моменте сопротивления на валу, линейно зависящем от скорости, минимизация энергии, потребляемой электродвигателем для осуществления заданного перемещения механизма, сводится к нахождению условий, доставляющих экстремум интегралу

Вторая составляющая не зависит от функции и целиком определяется заданием Поэтому при заданном значении пути подынтегральная функция функционала есть

Уравнение Эйлера для принимает вид

Его решение: где т. е. критерии минимума потребляемой энергии и минимума потерь в якоре не совпадают.

Рассмотрим управление асинхронным двигателем. В большинстве случаев оптимальное управление асинхронным двигателем в смысле производительности и быстродействия определяется ограничениями по нагреву. В электроприводах же постоянного тока, особенно в кратковременном режиме работы, производительность и быстродействие чаще ограничены условиями коммутации. Прежде чем сформулировать задачу об оптимальном частотном управлении асинхронным двигателем, доставляющим экстремум нагреву двигателя, сделаем следующие допущения. Не будем учитывать электромагнитные переходные процессы. За единицу магнитного потока, сцепленного с ротором, примем т. е. максимальный поток, возможный с учетом насыщения стали. Практически мало отличается от магнитного потока двигателя в номинальном режиме. За единицу скорости примем синхронную скорость вращения ротора (скольжение равно нулю) при частоте тока в статоре, равной номинальной. За единицу частоты тока в роторе примем такую частоту, при которой активное сопротивление ротора равно его реактивному сопротивлению, зависящему от частоты. За единицу электромагнитного момента двигателя примем критический момент, т. е. момент при магнитном потоке, равном максимальному, и частоте тока ротора, принятой за единицу. За единицу времени примем постоянную T_M, численно равную времени разгона привода от нулевой до синхронной скорости при электромагнитном моменте, равном критическому. За единицу частоты тока статорной цепи примем номинальную частоту За единицу тока в роторе - ток при частоте, принятой за единицу, и

Электромагнитный момент двигателя запишем в виде [18]

где - круговая частота тока ротора; - активное сопротивление фазы ротора и индуктивность; c = const.

Если при частоте имеем то момент, равный критическому:

Введя обозначения

получаем выражение момента двигателя в относительных единицах:

В относительных единицах будем учитывать также угловую скорость вращения вала момент сопротивления время частоту статора Здесь - угловая синхронная скорость вращения вала.

Если количество тепла, выделившееся в роторе за время при токе, соответствующем принять за единицу, то в относительных единицах количество тепла, выделившееся в роторе за время равно интегралу

Уравнение равновесия моментов сил на валу

Сформулируем задачу оптимального частотного управления двигателем: найти функции доставляющие минимум интегралу при заданных значении уравнении равновесия моментов сил на валу, неравенстве Учет ограничений, накладываемых на координаты может быть произведен после решения поставленной задачи аналогично рассмотренному выше составлению скорректированных диаграмм двигателя постоянного тока.

Составляем функционал для нахождения уравнений Эйлера

Пусть Варьируя приходим к уравнению

Уравнение Эйлера для функции

Наконец, для функции получаем

Подставив уравнение (127) в (129), приходим к формуле

За исключением тривиального случая, когда т. е. производная не обращается в нуль. При она отрицательна, т. е. потери в роторе при выполнении заданного перемещения тем меньше, чем больше магнитный поток, и минимум потерь достигается на границе области Режим, в котором неоптимален. Напряжение на зажимах двигателя с короткозамкнутым ротором следует регулировать так, чтобы магнитный поток, сцепленный с ротором, оставался постоянным и максимальным, соответствуя насыщению стали. Из уравнений (127) и (128)

откуда

Из уравнения (126) находим скорость вращения

Рассмотренное выше оптимальное управление электродвигателями постоянного и переменного токов относится к случаю, когда момент инерции привода, приведенный к валу двигателя, и момент сопротивления неизменны (либо ). Если в микропроцессор, управляющий приводами робота, на каждом малом отрезке времени поступают измеренные или вычисленные значения то производится пересчет коэффициентов экстремалей для новых с учетом движения, уже совершенного приводом от начала рассматриваемого цикла. Для полученных скоростей и тока находится новое напряжение или частота на двигателе. В некоторых случаях можно получить движение в цикле, мало отличающееся от оптимального.

Рассмотрим один из частных подходов к синтезу управлений электродвигателями манипулятора, схема которого показана на рис. 7. Для отыскания позиционного управления двигателями, оптимального по быстродействию, представим формулы (3), (4), (5) в виде

Рассмотрим движение звеньев на малом отрезке времени которому соответствуют приращения углов равные и практически постоянство функций зависящих от углов поворота, скоростей и ускорений звеньев. Устремим к минимуму величину соблюдая условия

где - заданный момент электродвигателя; - ускорение вала привода; силы трения не учитываем.

Для третьего двигателя минимизируем функционал

Из уравнения Эйлера - Пуассона

получаем где Ограничим приращения функций на отрезке задав условие В условие нагрева подставим Тогда

Принятое приближение для приемлемо, если считать, что Из уравнений (134) и (135) получаем

откуда определяются Итак, на отрезке времени экстремаль

В момент времени

устройство, управляющее двигателем и силовым электронным преобразователем, вычисляет новые коэффициенты функции для следующего отрезка Здесь из двух разных знаков перед квадратным корнем следует брать тот, который соответствует наименьшему положительному значению Знак перед берется положительным или отрицательным в зависимости от того, согласно либо противоположно действуют моменты сил

Для второго электродвигателя минимизируется функционал

при соблюдении условий

где - заданный момент второго двигателя; и принимаются постоянными на отрезке

Оптимальная траектория второго звена есть где постоянная определяется из уравнения

Постоянная

где знак перед зависит от того, совпадают ли по направлению моменты сил и нет.

Для первого электродвигателя отыскиваем оптимальную траекторию аналогично тому, как это выполнено для второго двигателя. В результате

где

Перемещения первого и второго звеньев, совершаемые на отрезке могут быть вычислены по формулам

Если в вычислительном устройстве для некоторых отрезков времени из вычислительные значения скоростей и ускорений превышают допустимые величины из условий технологии и динамических перегрузок, то реализация предельно допустимых управлений не обеспечивает в этом случае полного использования электродвигателя по нагреву. При ограничении по ускорению в формуле коэффициенты равны допустимое ускорение. При ограничении по скорости где - допустимая скорость. Длительность отрезка находим в первом случае из формулы во втором

Заметим, что условие нагрева, использованное выше при синтезе движения, не учитывает теплоотдачи и относится к повторно-кратковременному режиму, когда нагрев обмотки двигателя не успевает приблизительно к допустимому за время цикла движения.

Для привода с двигателем постоянного тока независимого возбуждения находим управляющее напряжение на входе силового электронного преобразователя на отрезке времени

где ускорение и скорость не достигают ограничений; - сопротивление якорного контура двигателя; - ток якоря; - конструктивный коэффициент двигателя; - коэффициент усиления преобразователя по напряжению; не учитывается влияние на переходный процесс индуктивного сопротивления якорной цепи.

При достижении ограничения ускорения

При ограничении скорости

Управление в соответствии с формулами (136), (137), (138) получено без учета ограничения на величину напряжения

Рис. 40

На рис. 40 показана упрощенная схема, реализующая управление двигателями манипулятора по формуле (136) для На входы схемы поступает информация о скоростях ускорениях моментах сил вычисленных или измеренных на прошлом малом отрезке времени и зафиксированных памятью внутри данного отрезка На основе этой информации вычисляются а затем управления для следующего отрезка, в начале которого на входы схемы поступают новые зафиксированные потенциалы; при этом нулевые значения сигналов на выходах интеграторов устанавливаются замыканием контуров разряда конденсаторов. На рис. 40 не показано вычисление На выходе схемы имеем сигналы управления силовыми преобразователями и потенциал, величина которого пропорциональна длительности малого отрезка Сигнал на выходе преобразователя пропорционален величине

Сигнал на выходе преобразователя пропорционален величине

Управление, реализуемое схемой на рис. 40, отменяется программным устройством в начальной и конечной частях траектории руки, когда соблюдаются неравенства Это связано с требуемой плавностью трогания и остановки, здесь α_3i - задание по перемещению i-го звена, ступенчато устанавливаемое во времени программным устройством.

Синтез добавочного контура управления, компенсирующего волновые упругие колебания звена, может быть проведен с применением вариационного метода. В результате получаем новый закон приращения по сравнению с формулой (110). Основным подходом является синтез оптимальных траекторий из условия ограничения энергии, переходящей в процесс генерирования упругих колебаний.

Для некоторых конструкций необщепромышленного назначения существенным является обеспечение такого управления в системах привода роботов, которому соответствуют удовлетворительно малые амплитуды волновых упругих колебаний звеньев в переходном процессе. При этом увеличение жесткости конструкции ограничено заданными весогабаритными показателями.

Разобьем ось времени t на малые отрезки внутри каждого из которых имеют место заданные приращения углов поворота звеньев Примем, что робот обладает тремя степенями подвижности. Приращения таковы, что в формулах вращающих моментов в шарнирах составляющие, зависящие от внутри практически неизменны. Длительность переходного процесса складывается из Задается функционал для i-го привода

Принимаем, что амплитуда упругих колебаний не превысит некоторой величины, если приращение на усредненное на этом отрезке, не превышает по абсолютной величине заданного приращения Это выражается условием

где - вращающий момент на предыдущем отрезке усредненный на этом отрезке. Упрощая решаемую задачу, исходим из предположения, что для всех Эта величина гарантирует максимальную амплитуду упругих колебаний, определяемую по формуле (21).

Задаются, кроме того, условия: Здесь для всех Время t в функционале и в изопериметрическом условии, записанных выше, отсчитывается от левого края отрезка

Составим вспомогательный функционал

где λ - множитель Лагранжа.

Вращающие моменты сил внутри представим в виде

где коэффициенты кроме того, зависящие от углов поворота звеньев робота и скоростей, также постоянны. Для первого привода из функционала

составляем уравнение Эйлера - Пуассона

где - подынтегральная функция и получаем

К этому же дифференциальному уравнению приходим, составив уравнение Эйлера - Пуассона для или Рассмотрев функционалы получаем систему дифференциальных уравнений

Приходим к выводу: Воспользуемся одним из результатов: тогда

Пусть допускается скачкообразное изменение ускорений Тогда принимаем, что в системе привода управление внутри происходит так, что Это допущение упрощает реализацию управления. С учетом допущения коэффициенты Подставив в время - и получаем

Итак, внутри

Для формулы аналогичны. Определим длину отрезка Весь путь, который должно пройти i-е звено робота в переходном процессе, разделим на две зоны. В первой зоне причем начальное значение равно нулю; r - число отрезков . В этой зоне находим из условия:

Во второй зоне также Величину находим каждый раз из условия

Тогда для первой зоны и третьего привода справедливо равенство

Длительность определяем из квадратного уравнения, соответствующего (145):

Во второй зоне вместо берем - Из приращений складывается максимальное значение В переходном процессе, определяющее амплитуду упругих незатухающих колебаний (см. гл. 1): Знание оптимальных движений робота позволяет найти управления U_3i на входах силовых преобразователей, соединенных с двигателями. Например, для электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения

- момент инерции привода, приведенный к шарниру в данном случае постоянный).

Формулы (146) и (147) представляют собой алгоритм управления в системе привода робота i-й степени подвижности, реализуемый в микропроцессоре. На заключительном участке переходного процесса i-я система привода работает как следящая система с экспоненциальной переходной функцией, соответствующей плавному позиционированию звена с малыми по амплитуде упругими колебаниями.

Для привода переменного тока синтезируемым сигналом управления является частота напряжения на обмотке двигателя. Для асинхронного двигателя пользуемся формулами (53), (56), (61), (65).

Рассмотрим построение следящей системы. Здесь главным является наилучшее приближение регулируемой величины н заданию. Интегральный критерий задают в виде где - квадратичная форма от фазовых координат и управлений,

Минимизируя интегральный критерий

где - задание; - действительное значение координаты; - ошибка, получаем плавный, без резких колебаний, и достаточно быстрый переходный процесс Характер его определяется выбранными значениями весовых коэффициентов Уравнение экстремали получаем, решив уравнение Эйлера - Пуассона:

где n - порядок дифференциального уравнения объекта управления. Задачу можно решать поэтапно. Сначала из уравнения экстремали с учетом граничных условий находим оптимальное значение n-й производной регулируемой величины. Затем определяем оптимальное управление, исходя из заданного уравнения объекта.

Отыщем оптимальное соотношение между координатами системы решив уравнение Эйлера - Пуассона для критерия оптимальности, заданного в квадратичной форме.

Это соотношение имеет вид

Когда верхний предел интегрирования в выражении для критерия оптимальности а значение координат то дифференциальное уравнение экстремали есть

Коэффициенты находят через коэффициенты по формуле

где r - корень характеристических уравнений, соответствующих дифференциальным уравнениям с коэффициентами Зная оптимальное соотношение между координатами системы, можно найти оптимальное значение n-й производной регулируемой величины по формуле

где

Для объекта, описываемого линейным дифференциальным уравнением первого порядка и критерия оптимальности

оптимальное соотношение между координатами системы имеет вид Оптимальное значение первой производной регулируемой величины есть Подставив в уравнение объекта управления, получаем

где - коэффициент обратной связи по регулируемой величине. Коэффициенты C_i и C₀' находим из равенства так как то

Для устойчивого эйлеровского регулятора данное равенство выполняется, если Тогда уравнение экстремали имеет вид

или

т. е.

Структурная схема следящей системы, соответствующая выведенному закону управления представлена на рис. 41. В этой схеме отсутствует возмущение объекта управления, что нашло отражение и в законе

Рис. 41

Если задан объект управления, описываемый линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

и требуется найти оптимальное управление, при котором минимизируется критерий качества

то управление определяем по формуле

где - коэффициент обратной связи по i-й координате:

Коэффициенты определяются аналогично предыдущему случаю.

Таким образом, для оптимального управления объектом n-го порядка требуется измерить задание, n его производных, регулируемую величину и ее производных.

Пусть на линейный объект n-го порядка действует некоторое возмущение λ. Примем, что возмущение действует на вход некоторой части объекта совместно с промежуточной величиной . Связь между описывается следующими дифференциальными уравнениями:

где k - порядок объекта до места входа возмущения, причем Исключив промежуточную величину , получим

где Оптимальное управление

или

Здесь - оптимальное управление при отсутствии возмущения.

Для электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения, не учитывая индуктивности якорной обмотки силы трения и наличия контура компенсации волновых колебаний звена робота, получим следующие уравнения:

т. е.

Если то где - номинальная э.д.с, - индуктивность.

Тогда уравнение объекта управления получает вид

Считая, что - заданная скорость вращения вала, - действительная скорость, получаем оптимальное значение первой производной от при

где и оптимальное значение второй производной от при :

где Коэффициенты, являющиеся постоянными интегрирования дифференциального уравнения экстремали, зависят от граничных условий Если, например, то это исключает решения дифференциального уравнения экстремали, приводящие к неустойчивости регулятора, и приводит к учету определенной полярности значений Формулы оптимального управления получаем подстановкой в уравнение объекта при при :

Перепишем эти формулы:

При коэффициенты C_i определяем из уравнения откуда Устойчивому регулятору соответствуют коэффициенты Уравнение экстремали коэффициент При коэффициенты C_i определяем из уравнения откуда

Аналогично находим оптимальное управление в следящей системе, когда выходной координатой объекта управления является путь, проходимый электродвигателем, и его уравнения имеют вид

а критерием оптимальности являются интегралы

Применяя "принцип максимума" вместо рассмотренного классического метода для позиционного привода и для следящей системы можно получить управления релейного типа. При этом автоматически решается вопрос удовлетворения условию ограничения управления. Такие системы можно использовать, если незначительны вибрации скорости и момента привода, вносимые управлением.

Синтезируем по аналогии с рассмотренным выше управление в следящей системе с асинхронным электродвигателем. За регулируемый параметр двигателя принимаем напряжение на обмотке статора. Уравнение механической характеристики двигателя запишем следующим образом:

где - напряжение обмотки статора; и - постоянные коэффициенты.

Из вида механической характеристики следует формула :

Момент, развиваемый двигателем, есть сумма

где - вращающий момент в шарнире робота с учетом силы трения; - момент инерции вала двигателя и редуктора, приведенный к двигателю.

Тогда Угол поворота для вала двигателя поэтому

Примем, что электронный преобразователь, включенный перед двигателем, является безынерционным с коэффициентом усиления Напряжение на его выходе

Минимизируем функционал

где -я производная по времени от задания по углу поворота вала двигателя.

Уравнение экстремали или отсюда получаем

Величины определяем из уравнения Напряжение на входе электронного преобразователя

Если задание по углу есть то

На рис. 42 показана структура следящей системы, реализующая управление

Рис. 42